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Contre cette attribution, on peut faire valoir d'autres motifs dont l'importance n'est pas négligeable :

1o Le préambule contient l'affirmation que tout ce qui est susceptible d'augmentation et de diminution est composé de parties dénombrables. Depuis le commencement du Ive siècle avant notre ère, aucun véritable géomètre n'a pu se permettre une telle assertion.

2o La proposition II contient un paralogisme (au lieu d'un postulat posé dans le préambule, on invoque la réciproque de ce postulat, laquelle est absolument déraisonnable). Quoique ce paralogisme n'ait pas fait sourciller Porphyre1, qui a reproduit presque tout l'opuscule dans son Commentaire sur les Harmoniques de Ptolémée, il a été remarqué dès l'antiquité, et l'on a essayé de démontrer autrement la même proposition, comme on peut le voir dans Boèce (Inst. Mus., II, 21-22).

Je n'insiste pas sur quelques tournures de langage, parfaitement classiques, mais étrangères aux habitudes d'Euclide. Mais on a déjà remarqué (voir les Studien über Euklid de Heiberg. Leipzig, 1882, p. 53, note 2) que dans l'opuscule en question se trouvent invoquées trois propositions arithmétiques qui ne figurent point dans les Éléments d'Euclide. Ce fait pourrait aisément s'expliquer en admettant que la prétendue Division du Canon ait été composée avant la rédaction définitive des Éléments, mais il suppose en tous cas l'existence de traités d'arithmétique, déjà composés sous le même habillement géométrique que les livres VII, VIII et IX d'Euclide.

Or nous pouvons sûrement faire remonter jusqu'au début du Ive siècle l'existence de pareils traités, déjà suffisamment développés pour permettre les démonstrations de l'opuscule que nous examinons. Boèce (ib., III, 11) nous a en effet conservé (d'après une version latine que je suppose remon

1. Ou l'auteur quel qu'il soit du Commentaire qui porte son nom.

ter à Apulée de Madaure) une démonstration donnée par Archytas d'une proposition qui est précisément la troisième de la Divisio Canonis; les deux démonstrations ont la même forme géométrique et procèdent au fond de la même façon. Boèce juge celle d'Archytas insuffisante (nimium fluxa); en réalité, elle est parfaitement régulière, quoique étrangère à nos habitudes modernes; mais on ne peut évidemment la comprendre que si on la suppose rattachée à un ensemble de propositions analogues, et fondée sur une théorie déjà très développée et très semblable à celle d'Euclide, malgré certaines différences d'ordre purement technique.

Ainsi, si nous devons faire remonter plus haut qu'Euclide les dix-huit premières propositions de la Division du Canon, nous avons toute liberté, au point de vue de l'histoire des mathématiques, pour les placer dans le Ive siècle, en allant jusqu'aux temps d'Archytas et de Platon. J'ai dit les raisons pour lesquelles je ne puis reconnaître l'opuscule. comme étant d'Euclide. Je ne crois pas d'ailleurs qu'il ait été composé après lui, car il ne pourrait guère alors, en raison de la prédominance conservée au genre enharmonique, être l'œuvre d'un faussaire et, dans ce cas, l'opuscule nous serait probablement parvenu sous le nom d'un pythagaricien quelconque1.

que

Il est plus difficile de conjecturer exactement la date de la rédaction primitive. Si j'ai dit qu'on pouvait à la rigueur, au point de vue mathématique, remonter jusqu'au temps d'Archytas, il faut cependant tenir pour assuré que nous avons affaire à une inspiration différente (car Archytas admettait pour le diton enharmonique la valeur d'une tierce majeure et non pas, comme notre auteur, du double d'un

1. Il va sans dire que du moment où j'admets que l'opuscule a été augmenté, après Euclide, de deux propositions, je n'exclus pas davantage dans le reste du texte la probabilité de retouches de détail. Mais cette question me paraît devoir être réservée pour le moment.

ton majeur); et il faut considérer en même temps comme très probable que toutefois Archytas a exercé sur lui, directement ou non une grande influence, dont témoigne le début du préambule. Car je ne crois pas du moins qu'on puisse faire remonter plus haut qu'Archytas la position du postulat fondamental sur lequel a reposé toute la théorie mathématique de la musique jusqu'au siècle dernier, à savoir que les nombres des vibrations des cordes vibrantes sont inversement proportionnels aux longueurs de ces cordes. Des raisons techniques tirées de la comparaison des deux démonstrations similaires que j'ai indiquées, me feraient même admettre une autre influence mathématique un peu postérieure, par exemple celle d'Eudoxe.

Si l'on se rend compte enfin de l'objet véritable que se propose l'auteur, il nous sera difficile, à nous modernes, de ne pas voir une gageure soutenue contre le bon sens, car il ne s'agit de rien moins que de déterminer a priori, sans effectuer aucune mesure, et avec le minimum de données empruntées aux connaissances musicales, quels sont les rapports numériques correspondant aux intervalles reconnus comme consonants. Mais il est en même temps impossible de ne pas rapprocher de ce but un passage bien connu de la République de Platon (VII, 531), où il est dit que dans l'étude de la musique il ne faut pas préférer les oreilles à la raison, que le problème est de rechercher quels sont les nombres consonants et ceux qui ne le sont pas, et pourquoi il en est ainsi. Avons-nous affaire à un platonicien qui a poussé à l'extrême la pensée du Maître? Platon a-t-il au contraire fait allusion à une tentative déjà effectuée dans son entourage et voulu insinuer à ce sujet que la divergence entre cet essai et l'opinion d'Archytas ne pouvait être tranchée que par la raison?

L'incertitude où nous sommes encore de la date réelle de la rédaction des divers livres de la République ne permet guère de se prononcer entre ces deux alternatives; on peut

cependant, je crois, retenir que notre auteur appartenait plus ou moins étroitement au cercle dit de l'Académie de Platon. Mais on doit aussi, à mon avis, se garder de supposer que Platon aurait pleinement approuvé la tentative singulière de la prétendue Division du Canon, qu'il n'aurait pas été choqué de l'étrange confusion entre ce qui est quos et ce qui est véu, que décèle le postulat essentiel de l'opuscule. Voici ce postulat dans toute sa hardiesse : les intervalles consonants forment par la combinaison de deux sons un résultant unique, les autres non; des rapports entre nombres, les uns se dénomment en employant un seul nom de nombre, les autres non. Il est dès lors vraisemblable (size) que les intervalles consonants correspondent à des rapports numériques à dénomination simple, c'est-à-dire à des rapports multiples ou à des rapports épimores (d'un quantième en sus).

SÉANCE DU 5 AOUT

Le PRÉSIDENT annonce à l'Académie que M. Noël Valois, pressenti par lui, accepte de faire, à la séance publique annuelle des cinq Académies, une lecture sur le sujet suivant: La croyance à la prochaine fin du monde dans les derniers siècles du moyen âge.

M. CLERMONT-GANNEAU commente les papyrus araméens de l'époque achéménide, provenant d'Égypte, dont il avait déjà été question dans la précédente séance. I propose ensuite une interprétation conjecturale d'une inscription nabatéenne de basse époque, trouvée aux environs de Pétra et insérée au Corpus inscriptionum semiticarum, mais déclarée jusqu'ici inintelli

M. OPPERT et M. le marquis DE VOGUE présentent à ce sujet quelques observations, qui provoquent de la part de M. Clermont-Ganneau des explications supplémentaires.

M. HÉRON DE VILLEFOSSE Communique à l'Académie la note suivante qui lui a été adressée par M. Paul Dissard, conservateur des Musées archéologiques de la ville de Lyon, et qui est relative à quatre inscriptions latines récemment découvertes dans cette. ville :

1

Épitaphe de Caius Apronius Raptor, Trévère, décurion de Trèves, négociant en vins établi à Lyon, au quartier des Canabae, batelier de la Saône, patron de l'une et de l'autre de ces corporations, et d'Apronia, fille d'Apronius Bellus.

Partie droite d'une très grande table de pierre brisée en trois morceaux, trouvée en 1903 en creusant pour l'établissement des fondations d'un groupe de maisons situé à l'entrée de la rue Saint-Pierre-de-Vaise, près du transept septentrional de l'église de ce nom.

Hauteur 1m 40, longueur probable de la table complète environ 2 50, longueur actuelle prise à la base 1m 55, à la partie supérieure 108; épaisseur 0 40. Hauteur des lettres de la première ligne 0m 15, de la seconde 0m 145, de la troisième 0m 12, des suivantes 0 10.

Au Musée.

diis ma NIBVS c.aproni.ra PTORIS.TRE veri.dec.ciVITAT NEGOT

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