QUADRATRICE. (Géométrie.) Cette courbe se forme par l'intersection des rayons d'un quart de cercle avec une règle qu'on fait mouvoir uniformément et parallèlement à l'un des rayons QUADRAGÉSIME (du latin quadragesimus, extrêmes de ce même quart de cercle. Elle porte quarantième), terme de bréviaire, espace de ordinairement le nom de Dynostrate, géomètre quarante jours. Il ne se dit que du carême : le ancien, contemporain de Platon, et à qui l'on dimanche de la Quadragésime est le premier en attribue l'invention. Elle ne fut pas destinée dimanche de carême. d'abord par son auteur, comme semble l'indiquer QUADRANGULAIRE (Géométrie) à quatre le nom de quadratrice, à déterminer le rapport

de la circonférence au diamètre, ou à résoudre | phique, Archimède n'est pas parvenu à calculer le problème de la quadrature du cercle; Dynos- exactement la surface de ce triangle rectangle, trate la proposa seulement pour la solution d'un à cause de l'impossibilité d'exprimer avec préautre problème qui ne semble pas moins impos- cision la longueur de la circonférence du cercle sible, celui de la trisection de l'angle. La qua- au moyen du diamètre pris pour unité, ou le dratrice de Dynostrate est d'ailleurs au nombre rapport de la circonférence au diamètre. C'est des courbes mécaniques, et elle ne saurait pas donc de ce rapport que dépend la quadrature plus servir à réduire un cercle en un carré, du cercle, et ceux qui n'ont qu'une connaisquand même il serait possible de la décrire en sance superficielle des mathématiques doivent entier, qu'un procédé graphique, quelque exact concevoir en quoi consiste la difficulté de ce faet délicat qu'il soit, ne saurait atteindre à la pré- meux problème, dont on peut toujours obtenir cision géométrique proprement dite. Ce serait ici la solution exacte par des constructions graphile cas de parler des travaux vraiment prodigieux ques et des opérations mécaniques, sans qu'il auxquels se sont livrés des géomètres de tout soit possible d'exprimer ensuite le résultat exactemps pour arriver à la solution du problème quitement par le calcul; puisque tous les efforts est l'objet de la quadratrice. Peut-être a-t-on | tort de les improuver, malgré leur inutilité bien reconnue pour atteindre au but que s'en proposent les auteurs, car si les géomètres ne sont point parvenus à démontrer à priori l'impossi- | bilité de la quadrature du cercle, du moins Lambert a-t-il fait voir (Mémoire de l'Académie de Berlin, année 1761) que le rapport du diamètre à la circonférence est incommensurable, et Legendre a-t-il démontré que le carré de ce rapport est aussi lui-même irrationnel : mais avant de condamner un pareil genre de recherches, il faut considérer que la plupart des propositions dont se compose la géométrie n'étaient pas même soupçonnées avant leur découverte, et que celle-ci n'a presque été due, dans le plus grand nombre des circonstances, qu'à l'opiniâtreté d'efforts, de travail dont le but était tout autre que d'arriver à ces découvertes.

BILLOT.

des plus grands mathématiciens se sont réduits et ne pouvaient se réduire qu'à exprimer approximativement le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre, par le nombre 3,14159265.. etc., approximation qui a été calculée jusqu'à la cent vingt-septième décimale, et qui suffit à l'application de la géométrie à la pratique la plus scrupuleuse.

Depuis la découverte du calcul infinitésimal la quadrature des figures curvilignes peut être, obtenue par une méthode générale aussi simple qu'élégante, dont nous allons donner une idée. On rapporte la courbe qui termine la figure à un système de coordonnées rectangulaires, et alors si l'on considère une partie de la surface comprise entre l'axe des abscisses, un arc de la courbe et les deux ordonnées des extrémités de cet arc; ce segment de courbe aura pour élément un petit trapèze formé par deux orQUADRATURE. (Géométrie.) C'est la transfor- données successives y ety', l'élément de l'abmation d'une figure plane en un carré qui lui soit scisse dr, et l'élément ds de l'arc. Mais ds équivalent, ou plus généralement, c'est la mesure étant infiniment petit peut être supposé égal de la surface d'une figure géométrique quelcon- à dæ, ainsi que y = y'; d'où il suit que le que, au moyen du carré pris pour unité de mesure; trapèze élémentaire se réduit à un rectangle d'où est résulté le mot quadrature. Comme on dont la surface est exprimée par ydø, et l'intépeut toujours décomposer un polygone en trian-grale de yde prise entre les limites convenables gles, et ces triangles en un carré équivalent, par les procédés de la géométrie élémentaire; il s'en suit qu'on peut toujours obtenir exactement la quadrature des polygones, soit par des constructions graphiques, soit par le calcul. Les anciens n'ont point connu d'autres méthodes de quadrature, et même Archimède a été conduit ainsi, non-seulement à la quadrature des figures curvilignes, considérées comme des polygones d'un grand nombre de côtés; mais encore à la quadrature exacte du cercle en construisant un triangle rectangle ayant le rayon pour un côté de l'angle droit, et pour l'autre côté la circonférence rectifiée de ce cercle; arrivé à ce résultat gra

donne la surface du segment de courbe considéré. Ainsi pour carrer une figure curviligne quelconque, il suffit de tirer de l'équation de la courbe la valeur de l'ordonnée y, de la multiplier par l'élément dæ de l'abscisse et d'intégrer ce produit entre les limites convenables; on obtient par cette méthode générale la quadrature exacte ou approchée de toutes les surfaces planes; celle des surfaces courbes exige d'autres principes qui dépendent du mode de génération de ces surfaces et que l'on trouve développés dans tous les traités de calcul infinitésimal. DUB...

QUADRATURE. (Astronomie.) C'est la position de deux astres qui se trouvent à 90° l'un de

constamment aux membres postérieurs, et il y est toujours très-développé et très-opposable aux autres doigts, quand, dans un très-grand nombre d'espèces, les pouces antérieurs s'atrophient et deviennent rudimentaires ou même tout à fait nuls. Tous les marsupiaux pédimanes ont des pouces libres et opposables à leurs extrémités postérieures, et jamais à leurs extrémités antérieures, et il en est de même d'un mammifère placé par la plupart des naturalistes, près des écureuils, mais qui semble bien plutôt un quadrumane voisin des tarsiers qu'un rongeur; c'est l'aye-aye. Ainsi il est un très-grand nombre d'animaux de différentes familles qui ont des mains aux extrémités postérieures, sans en avoir aux antérieures; tels sont les atèles, les colobes, les didelphes, les phalangers, l'ayeaye, etc.; mais il n'est qu'un seul être chez lequel on trouve le système inverse; et cet❘ être remarquable par une telle anomalie, c'est l'homme.

QUADRUPÈDES (de quatuor, et pes, pied), nom sous lequel on désignait communément, avant les dernières classifications zoologiques, les animaux qui composent la première classe des vertébrés. Ce terme impropre, puisque l'on trouve aussi dans d'autres classes des espèces à quatre pieds, a été remplacé par le nom plus exact de MAMMIFÈRES, auquel nous renvoyons. QUADRUPLE. (Arithmétique.) Même nombre compté quatre fois ou multiplié par quatre. Jadis les lois françaises voulaient que la peine de l'omission de recette par les comptables fût le quadruple.—En musique, la quadruple croche est une note qui ne vaut que le quart d'une croche ou la moitié d'une double croche.—Quadru- | ple, monnaie d'or d'Espagne, double pistole qui depuis 1786 vaut 81 fr. 51 c. On a donné aussi ce nom, en France, à une pièce d'or fabriquée sous Louis XIII, portant d'un côté l'effigie de ce roi, de l'autre une croix couronnée de quatre couronnes, et cantonnée de quatre fleurs de lis elle pesait dix deniers, douze grains trébuchants, et valait 20 livres. X.

QUAL. (Construction.) Levée revêtue de maçonnerie ou en pierres de taille, destinée soit à retenir les terres de la berge d'une rivière, soit à en contenir les eaux dans leur lit; et qui procure à certaines villes une promenade commode et agréable. Ce mot, très-ancien, viendrait, suivant Scaliger, de cayare (contraindre, resserrer, en latin du moyen âge). Borel le dérive de

| cadere ou caïr, même signification en vieux français. Du Cange prétend que le quai était primitivement un espace du rivage couvert de poutres et de planches en forme de maison, appelé, dans la basse latinité, caya, cayum, chara, et en français chas, chai, lequel servait et sert encore à mettre à couvert les marchandises qu'on décharge des navires.-Plusieurs grandes villes, telles que Rome et Londres, n'ont pas de quais; Pise et Florence, construites sur les deux rives de l'Arno, en possèdent d'admirables; mais aucune ville n'approche en ce genre de Paris. Son premier quai, celui des Augustins, date de Philippe le Bel, comme il conste de lettres patentes de ce roi, du 9 juin 1312, ordonnant au prévôt des marchands et aux échevins de le construire pour éviter les fréquents débordements de la Seine. L'ensemble, continué à différents intervalles, et presque achevé sous l'administration du préfet actuel, M. le comte de Rambuteau, offre une promenade de plus d'une lieue de longueur. Le fleuve parcourt cet espace dans un canal de pierres de taille, entrecoupé de distance en distance par des ports pour l'arrivée des bateaux, et le déchargement des marchandises. Le quai est aussi un espace revêtu de murailles, propre aux mouvements et aux opérations d'un port. On enfouit sur le terre-plein des canons par la volée jusqu'aux tourillons, et, dans les murs de revêtement, on scelle des ancres, de forts organeaux, pour que les navires viennent y amarrer. Pour charger ou décharger, les uns se placent de bout à quai, d'autres bord à quai. Les quais sont munis de grues et de cabestans volants. Il faut qu'il y ait aussi des robinets d'eau courante, avec des manches et des tréteaux pour envoyer de l'eau à bord des bâtiments, afin de remplir leurs pièces arrimées. En un mot, un quai doit offrir aux vaisseaux tout ce qui peut être utile à leurs mouvements et à leurs amarrages. Le quaiage est le droit que payent les vaisseaux de commerce qui se servent du quai pour leurs opérations. DICT. DE LA CONV.

QUAKERS ou TREMBLEURS ', nom qu'on donnait autrefois par dérision, et qu'on emploie assez généralement aujourd'hui pour désigner la Société des Amis, fondée par George Fox (voy.), vers 1650. A cette époque, quelque chose du zèle des premiers réformateurs animait encore les esprits, et il n'était pas rare de voir surgir de cette foule, qui s'alimentait presque exclusivement de controverse religieuse, des

contorsions et des tremblements qui justifiaient les paroles de leur fondateur: «Tremblez en présence de la parole de Dieu ! »

hommes que l'ambition, la vanité, où une conviction profonde érigeaient en fondateurs de sectes. Ce zèle d'un prosélytisme ardent, né de la réforme, se manifesta surtout en Angleterre, et cette révolte des esprits s'explique par la gêne à laquelle les soumettait une Église nationale élevée sur les ruines de celle de Rome.

Ennemis de la controverse, ils croient inutile de s'expliquer sur le sens qu'on doit attacher à tout mot, tel que Trinité, péché originel, qu'on ne rencontre pas dans la Bible. Conformément aux usages de l'Église primitive, ils accordent le droit de prédication à tout homme ou femme inspiré par le Saint-Esprit; mais échappant aux inconvénients de cette concession, par un détour qui ne manque pas de finesse, ils établis

En effet, à peine l'Église anglicane a-t-elle voulu asseoir sa domination, que des réclamations surgirent de toutes parts. Parmi les nom-sent, comme juge de la réalité de l'inspiration, breuses sectes qui ont levé l'étendard de la révolte, le quakérisme mérite une attention toute particulière, moins par le nombre de ses partisans et la haute considération dont ils jouissent, que par la manière dont, en partant tout simple- | ment du principe d'obéissance littérale à la parole évangélique, il a résolu, à son insu, des problèmes que se posent encore les philosophes, et réalisé des vœux formés par les utopistes. Il a fait régner la fraternité au sein de l'inégalité des fortunes et des positions sociales; il a émancipé la femme sans affaiblir les liens de la famille; il a aboli la prétrise sans que le dogme ait subi de variation; sans se prêter à aucun subterfuge, à aucun compromis entre la sévérité du précepte religieux et la licence des affaires, il a soutenu la lutte contre des adversaires peu scrupuleux sur le choix des moyens; et le monde, au milieu duquel il a vécu pendant 200 ans, en contradiction flagrante avec ses habitudes et ses préventions les plus enracinées, n'a pas eu la puissance de l'entamer il a offert ainsi le singulier spectacle d'une société sans chefs, renonçant à l'emploi | de la force, à la protection des tribunaux, constamment soumise à une loi dépourvue de toute sanction pénale; et, de l'autre côté de l'Atlanti-❘ que, il ne s'est pas moins montré puissant pour que l'on invoque aujourd'hui comme précédent. créer que pour résister.

Ce qui distingue particulièrement le dogme de la Société des Amis, c'est l'importance qu'ils attachent à l'esprit divin, agissant sur la raison humaine comme la lumière sur l'organe visuel. Cette croyance, dont on retrouve des traces dans les ouvrages de Platon, de saint Augustin, de Luther, etc., n'expose pas les quakers à l'orgueil spirituel qu'elle inspire à ceux qui se regardent comme les élus du Seigneur; car ils croient que la grâce est librement offerte à tous, à toute heure de la vie; ni aux aberrations des illuminés; car tout en considérant son opération essentielle à la complète intelligence de l'Écriture sainte, ils tiennent pour mensongère toute inspiration qui serait en contradiction avec elle, qui ne se révélerait pas au dehors par une vie sainte et pure.

un conseil d'anciens qui procède selon les règles ordinaires de la prudence humaine. Une fois approuvés, les ministres se portent partout où les besoins spirituels de leurs coreligionnaires les appellent, ne recevant d'indemnité que dans le cas où ils voyagent à l'étranger. Leur culte, dénué de toute cérémonie, comme leur chapelle de tout ornement, est purement spirituel; les réunions ne sont quelquefois qu'une simple méditation silencieuse; tous les lieux, tous les temps leur sont également sacrés; le baptême et la Cène même leur semblent des symboles depuis longtemps abrogés. Remarquables pour leur soumission à l'autorité temporelle dans la sphère de ses attributions, ils repoussent avec une ténacité inébranlable son intervention dans les affaires spirituelles, et leur résistance, quoique purement passive, a fini par triompher de l'intolérance législative. Las d'infliger l'amende, la confiscation et l'emprisonnement sans terme, les tribunaux ont enfin admis l'affirmation du quaker à la place du serment qu'il refuse de prêter, et déclaré valides les mariages, pour lesquels, malgré les horribles conséquences qui résultaient de leur refus, ils s'obstinaient à ne pas demander la sanction de l'Église; privilége

Leur protestation incessante contre la guerre, sous toutes les formes, commence aussi à trouver de l'écho chez les peuples civilisés. Devançant à cet égard l'opinion publique, la société condamna, dès l'origine, la traite et l'esclavage; dès le commencement du XVIIIe siècle, elle défendait, sous peine d'expulsion, toute participation à ces crimes, et son zèle ne se ralentira que lorsque la terre en sera tout à fait purgée. L'éducation populaire, dépourvue de tout esprit de prosélytisme, n'a pas de partisans plus éclairés et partout où l'humanité, sans acception d'opinion, de race, de couleur, réclame un défenseur, on peut être assuré qu'on trouvera sur la brèche la Société des Amis.

Sa faiblesse numérique se compense par le sentiment de la solidarité où résident sa force et sa grandeur. Il fait tolérer les formes un peu gê