cloïdal, et découvrit qu'un arc, à partir du sommet, est double de la corde correspondante du cercle générateur, et qu'ainsi la courbe entière est quadruple du diamètre de ce cercle. Wren trouva encore la dimension de la surface des solides autour de la base et autour de l'axe. Fermat détermina aussi les surfaces des solides considérés par Wren, et trouva une méthode ingénieuse pour la dimension des surfaces de révolution; méthode dont Pascal fait l'éloge, mais que Fermat n'a pas donnée, et que Montucla a déduite par analogie de celle de Van - Heuraët pour ramener la rectification d'une courbe à la quadrature d'une figure curviligne déterminée. Sluze mesura aussi l'aire de la courbe. Ricci résolut quelques problèmes que Pascal ne désigne pas.

Quelques Géomètres avaient demandé des délais indéterminés ; ils élevaient d'autres prétentions qui n'avaient aucun fondement. Pascal observa très - plaisamment que s'il s'était permis de donner un terme indéfini, sous le prétexte des causes imprévues qui pouvaient retarder l'arrivée des solutions, il n'aurait jamais pu décerner les prix à aucun Géomètre, attendu qu'on aurait toujours pu rester dans l'attente de quelques vaisseaux venant de loin et arrêtés dans leur trajet par des tempêtes, des naufrages ou par tout autre obstacle, mais qui auraient pu apporter des solutions d'une date antérieure et signées de quelque Bourgmestre ou Officier public. du fond de la Moscovie, de la Cochinchine ou du Japon.

(q) Le P. Lalouvère prétendit avoir trouvé sur la Cycloïde des choses très-curieuses qu'il ne voulait publier qu'après que Dettonville aurait fait connaître ses solutions, donnant, en quelque sorte, à entendre qué peut être celui-ci n'avait pas résolu lui-même les problèmes qu'il avait proposés.

Dans un écrit intitulé: Suite de l'histoire de la Roulette, Pascal plaisante sur les promesses et les refus du P. Lalouvère, qu'il ne nomme pas; il se félicite de pouvoir égayer un peu une matière si sérieuse. Dans cet écrit et dans un autre qu'il avait donné deux mois auparavant sous le titre Réflexions sur les conditions des Prix, etc. Pascal démontre que le P. Lalouvère et Wallis n'avaient point résolu les problèmes, et il fait voir d'une manière générale en quoi ils s'étaient égarés. La même preuve résulte du récit de l'examen et du jugement des écrits envoyés au concours, du 25 novembre 1658, et de la Lettre de Carcavi à Pascal, du 10 décembre suivant. Si les auteurs d'une célèbre édition des Pensées de Pascal, qui affirment, sans autre appui que leur seule autorité, que les deux concurrens avaient résolu tous les problèmes proposés, n'ont pas lu ces pièces, comment ont-ils pu se permettre d'élever avec tant

de légèreté contre la mémoire de Pascal, le reproche sanglant et infamant d'une injustice aussi criante que celle qu'il aurait commise ? Et s'ils ont lu ces pièces, que faut-il penser de leur bonne foi?

9

Dans un écrit publié avant la clôture du concours, le P. Lalouvère avait traité, il est vrai, les solides de révolution décrits autour de la base; mais ce n'était là qu'un point déjà exécuté par Roberval, et ce fut seulement en 1660, qu'il donna toutes les solutions, plus d'une année après la publication de celle de Pascal lui-même. Quant au calcul qu'il donna du cas proposé dans le Programme, il contenait entr'autres erreurs celle de placer le centre de gravité vers l'une des extrémités aiguës d'un corps s'agrandissant constamment vers l'autre extrémité : erreur visible par la simple considération du centre de gravité d'un triangle. Ainsi le P. Lalouvère n'avait évidemment aucun droit aux prix. Il n'avait pas même donné la démonstration de sa méthode, et il avait persisté, malgré les invitations pressantes qui lui en avaient été faites, à ne pas envoyer, même sous un chiffre, le calcul rectifié du cas dont il s'était occupé. Il est donc absolument faux que, comme on l'assure dans la même édition des Pensées, il eût résolu tous les problèmes du concours, et que de simples fautes de copistes aient été le prétexte qui lui ait fait refuser la couronne. Une telle assertion, qui est à peine concevable, est contraire à toutes les preuves qui subsistent et qui sont sous les yeux de tout le monde.

En rappelant les erreurs du P. Lalouvère dans l'affaire de la Roulette, je n'entends point déprimer les véritables connaissances qu'il avait en Géométrie; et s'il n'a pas résolu les problèmes de Pascal, il n'est pas le seul Géomètre qui y ait échoué: on peut, sans être un Pascal, occuper encore un rang honorable dans les sciences. On l'a raillé sur l'annonce qu'il avait faite de la Quadrature du cercle; mais le mot de Fontenelle, que le P. Lalouvère avait eu le malheur de trouver la Quadrature du cercle, est plus plaisant que solide. Il y a eu des Géomètres du premier ordre qui ont pu croire à la Quadrature définie du cercle, ou qui du moins n'ont pas été bien persuadés de son impossibilité; et d'Alembert pensait qu'il n'existait encore aucune démonstration vraiment rigoureuse de l'impossibilité de la Quadrature, même indéfinie, des courbes rentrantes. Si les ouvrages du P. Lalouvère prouvent qu'il manquait d'ordre, d'élégance et de précision dans ses méthodes, ils annoncent d'un autre côté des connaissances assez profondes: il a d'ailleurs le mérite d'avoir fait quelques élèves distingués, et entr'autres, le P. Nicolas, qui a publié

des travaux importans sur plusieurs espèces de courbes, telles que les Spirales, la Conchoïde, la Cissoïde, etc.

Quant à Wallis, il envoya un Mémoire qui parvint à Paris les premiers jours de septembre; il se corrigea successivement par plusieurs lettres, et dans la dernière, datée de la fin du même mois, il annonça expressément qu'il pouvait rester encore quelques erreurs dans son travail; il demandait en outre si les juges ne se contenteraient pas d'une solution approchante. Malgré ces aveux, les juges du concours crurent devoir examiner son travail, circonstance remarquable dont il importe de tenir compte. Wallis avait mal résolu la question du centre de gravité des solides, tant autour de la base qu'autour de l'axe, parce qu'il s'était trompé sur les centres de gravité de certains solides de construction. Or, ces problèmes sur les centres de gravité des solides et de leurs parties, étaient précisément les plus importans du Programme, comme n'ayant encore été résolus par aucun Géomètre. Il n'avait point déterminé avec exactitude les dimensions des solides autour de l'axe, ni les centres de gravité de la demi-Cycloïde et de ses parties. Il s'était sur-tout trompé en attribuant à certaines surfaces indéfinies en nombre et inégalement distantes entr'elles, des propriétés qui ne convenaient qu'à des surfaces d'une égale distance. Les juges du concours observèrent que cette erreur avait conduit Wallis à comparer numériquement des surfaces qui sont comme des arcs de cercle au diamètre, ou comme leurs puissances. Ainsi, les erreurs de Wallis provenaient du vice de ses méthodes, puisque les calculs étaient conformes à ces dernières. Il convint encore lui-même postérieurement qu'il n'avait pas indiqué en quoi ses corrections avaient besoin d'être rectifiées. Son Traité sur la Cycloïde ne parut, en 1659, qu'après la publication de celui de Pascal; il y résout les problèmes du premier Programme par sa méthode de l'Arithmétique des infinis; il ne donna ceux du mois d'octobre que dans son Traité de Mécanique, en 1670.

On voit donc que Wallis n'avait point satisfait aux conditions du Programme, quant au fond des problèmes, et que, dans tout cela, il n'est nullement question de formes relatives à la remise de son manuscrit. Si quelque défaut de ce dernier genre avait paru, aux yeux des juges, propre à fournir un prétexte pour exclure Wallis du concours, et que tel eût été leur désir, qu'avaient-ils besoin d'examiner son travail, de l'analyser et de le juger avec tout le soin qu'ils y ont mis? Cette considération puissante et sans réplique n'a pas empêché les éditeurs dont nous avons parlé plus haut d'assurer,

au lieu le

sans nullement motiver leur assertion, que Pascal a fait refuser le prix à Wallis, uniquement par la raison ostensible que son Mémoire était signé par un notaire d'Oxford de l'être par un notaire de Paris (1), et dans le fond, par motif réel que Wallis était un hérétique; tout comme, ajoutet-on, il convenait, à l'égard du P. Lalouvère, de ne pas reconnaître qu'il pût y avoir un grand Géomètre parmi les Jésuites. Une épigramme peut bien tromper un lecteur mal instruit, et satisfaire la malignité de celui qui ne veut pas l'être du tout; mais une épigramme n'est pas une preuve, et la posté rité ne juge pas sur une pointe, lorsqu'elle a des monumens

à consulter.

(r) La grande célébrité de la Cycloïde semble m'autoriser à entrer ici dans quelques détails sur les recherches ultérieures dont cette fameuse courbe a été l'objet.

Le P. Fabri, jésuite, publia, à peu près vers la même époque du Traité de Dettonville, son Opusculum geometricum de lined Sinuum et Cycloïde. Il n'y traite pas les problèmes les plus importans de Pascal.

Si l'on retranche de l'aire de la Cycloïde ordinaire, comme par découpure, celle du cercle générateur, lorsqu'il est au milieu, et qu'on abatte le reste de manière que les ordonnées ainsi raccourcies de part et d'autre, viennent de nouveau aboutir à l'axe, en restant parallèles à elles-mêmes, il résul tera de-là une courbe en partie convexe et en partie concave, qu'on appelle la Compagne de la Cycloïde. Les Géomètres coopérateurs de Pascal se sont aussi occupés de cette courbe.

La Cycloïde jouit de quelques propriétés remarquables. Elle est ce qu'on appelle tautochrone, c'est-à-dire, que les oscilla→ tions d'un pendule assujetti à suivre un arc cycloïdal, sont

(1) Les adversaires de Pascal ont sans doute triomphé de pouvoir présenter un prétendu déni de justice appuyé sur un motif aussi pueril, et ils auront trouvé plaisant d'opposer le notaire d'Oxford au notaire de Paris. Il est triste d'être forcé de ne voir dans cette allégation qu'un véritable stratagême. Mais cette invention n'est pas heureuse. Avant d'en faire un moyen d'accusation, il eût été prudent de s'assurer qu'elle ne pût être contredite par aucun fait connu. Or, voici les termes du Programme: Qui, PUBLICO INSTRUMENTO, intra præstitutum tempus, illustrissimo D. de Carcavi significaverit eorum quæ quæsita sunt solutioném penes se habere, etc. Où l'on voit qu'il ne s'agissait point d'un notaire de Paris; ce qui, en effet, eût été bien absurde, à moins qu'on n'eût fait, en même temps, aux concurrens l'obligation non moins curieuse de venir rédi .ger leur travail à Paris. Et remarquez de plus que les juges ont expressément reconnu la validité de l'Acte public qui constatait la légitimité de l'écrit de Wallis. (Voyez le tome 5 des Œuvres de Pascal, pages 195 ⚫i 196.)

toutes d'égale durée. Pour obtenir cet effet, on donne au pendule un cordon flexible qui, dans les vibrations, s'applique sur un arc cycloïdal convexe; le fil devient alors le rayon de la Développée, qui est elle-même une Cycloïde égale à la première. Ce fut Huygens, auteur, comme je l'ai dit, de la théorie importante des Développées, et à qui l'horlogerie est redevable d'une grande partie de ses perfectionnemens, qui ayant réalisé la belle application du pendule aux horloges, pour en régler le mouvement, application seulement entrevue par Galilée, découvrit le premier le Tautochronisme de la Cycloïde. Ce Tautochronisme u'est rigoureux que dans le vide et dans la double supposition d'un mouvement uniformément accéléré et du parallélisme des verticales; mais si la pesanteur varie avec la distance au centre, et que les verticales soient convergentes, Newton a démontré que la courbe tautochrone est alors une Epicycloïde. Le problème devient plus difficile, si l'on fait encore intervenir la résistance du milieu. La question ainsi envisagée dans toute sa généralité, a été attaquée plus tard et résolue par Jean Bernouilli, Euler, Lagrange, Fontaine et d'Alembert.

Il faut convenir que l'application de la Cycloïde aux horloges a été inutile jusqu'ici dans la pratique; mais ce n'est pas moins l'une des plus belles spéculations que les sciences aient pu fournir.

La Cycloïde est encore la Brachystochrone, c'est-à-dire, la courbe de la plus prompte descente. Cela signifie que si deux points donnés dans l'espace ne sont ni dans la même verticale, ni dans le même horizon, et qu'on joigne ces deux points par un arc cycloïdal dont la concavité soit tournée en haut, la chute d'un corps roulant le long de cet arc, sera plus rapide que selon toute autre ligne qui joindrait les deux mêmes points. Le problème de la Brachystochrone, contre lequel avait échoué Galilée, fut proposé ensuite par Jean Bernouilli dans les Acta eruditorum, année 1696; Leibnitz, Newton, Jacques Bernoulli et Lhôpital le résolurent; Huygens, qui venait de mourir, n'a pu avoir le plaisir de s'occuper d'une question qu'il aurait sans doute traitée avec le même succès.

Si le cercle générateur de la Cycloïde roule sur la circonférence d'un autre cercle, la courbe engendrée ainsi se nomme Epicycloïde; on en attribue l'invention à Roëmer, vers 1674; et Newton est le premier qui en ait publié les propriétés. Cette courbe est celle qu'il convient de donner aux dents des roues et des pignons, dans les systèmes d'engrenage, pour obtenir l'uniformité de frottement, de pression et de mou

vement.