précédemment. Si l'on conserve la même notation, et que, de plus, on nomme k le rapport de l'aire E-E、 + E ̧ à l'aire qui mesure le travail résistant développé pendant un tour entier, on aura, pour déterminer le moment d'inertie du volant, en se bornant à la première approximation,

La partie pénible de cette solution consiste dans le tracé des courbes S., S,. Nous indiquerons plus loin des appareils dynamométriques qui peuvent exécuter d'eux-mêmes ce tracé.

Considérons encore une machine à vapeur de Watt. Le piston communique le mouvement à l'arbre par l'intermédiaire du balancier, de la bielle et de la manivelle. L'arbre fait mouvoir des pièces dont les vitesses sont avec la sienne dans des rapports constants.

Dans le calcul de la force vive, on peut, sans erreur trop grande, considérer les masses du piston à vapeur, de la bielle et des pistons des pompes qui sont mises en mouvement par le balancier, comme concentrées aux points d'articulation de ces corps sur le balancier. De plus, la force vive moyenne du balancier étant ordinairement inférieure à la centième partie de celle du volant et de l'arbre fictif, qui remplace toutes les autres pièces de la machine, il est permis de remplacer la valeur exacte de la force vive du balancier par une valeur approchée, d'un calcul plus commode. Or, si l'on nomme la vitesse angulaire de l'arbre, ' celle du balancier, R' la demilongueur du balancier, et la longueur variable d'une parallèle au balancier menée par le centre de l'arbre jusqu'à la rencontre de la bielle, il est aisé de voir, d'après ce que nous avons dit à la page 186 du tome I, qu'on a

Ainsi, la force vive du balancier est rigoureusement le produit du moment d'inertie de ce corps autour de son

12 R'2

axe par le facteur. Il nous est permis de remplacer

12 R'2

ce dernier facteur par la quantité peu différente3, n désignant la moyenne arithmétique entre la plus grande et la plus petite valeur de w, c'est-à-dire

Ceci posé, soient

wit wo

2

Σmp' le moment d'inertie de l'arbre fictif et du vo

lant;

w; la vitesse angulaire que possèdent ces deux pièces quand la manivelle est au point mort, c'est-à-dire, quand le prolongement de la bielle rencontre l'axe de rotation ;

Ω

I le produit de par le moment d'inertie du balancier

R'2

autour de son axe propre;

Tm le travail de la vapeur diminué du travail des résistances qui agissent sur le balancier, savoir le frottement du piston, et l'effort de la pompe alimentaire, de la pompe à air et de la pompe à eau, ce travail étant compté à partir de la position de la machine correspondante au point mort;

T, le travail de la résistance appliquée sur l'arbre, compté depuis la même position.

L'équation des forces vives, pour une position quelconque, sera sensiblement

On construira dans une épure à grande échelle les valeurs de Il', T., T, correspondantes à des arcs décrits croissant en progression arithmétique et comprenant un tour entier; puis on cherchera sur cette épure la plus grande valeur M, du second membre de l'équation précédente et la plus petite valeur Mo. Ces valeurs étant trouvées, le problème sera résolu; car on aura

(w;w;) Σmp2 = M. — M。,

et, par suite, assujettissant le rapport

Ω

On pourra consulter avec fruit sur ce sujet un beau Mémoire de Coriolis inséré au XXIe cahier du Journal de l'École Polytechnique.

Lorsque la machine a plusieurs arbres réunis par des engrenages ou des courroies sans fin, et d'ailleurs sollicités par des forces quelconques, il n'est point indifférent de placer le volant sur tel ou tel arbre. Il convient de le placer sur celui qui éprouve les plus grandes variations dans sa force appliquée, afin d'éviter autant que possible les chocs dans les engrenages.

En effet, considérons deux arbres de rayons r, r', sollicités dans le sens du mouvement par deux forces dont les moments autour des axes respectifs soient Pr, P'r', et supposons que le premier arbre conduise le second par l'intermédiaire d'une courroie sans fin ou d'un engrenage à dents très-petites. Nous pourrons assimiler la pression des dents de l'engrenage ou la différence entre les tensions des deux brins de la courroie, à la tension d'une corde qui s'enroulerait sur le premier arbre et se déroulerait sur l'autre. Alors, si nous représentons par T cette ten

sion, par w, w' les vitesses angulaires des deux arbres, et par Mr2, M''2 leurs moments d'inertie autour de leurs axes respectifs, nous aurons, en appliquant l'équation des forces vives à un instant infiniment petit,

Cette valeur de la tension nous montre que, pour deux accroissements égaux attribués séparément à P et à P', les variations correspondantes de la tension sont entre elles dans le rapport inverse des quantités M et M'. Donc, pour éviter que la tension varie brusquement ou change de signe, auxquels cas il y aurait choc entre les dents de l'engrenage, il convient de faire correspondre le plus grand moment d'inertie à l'arbre dont la force appliquée éprouve les variations les plus subites et les plus considérables.

Les volants ne sont pas destinés seulement à égaliser pendant un tour le mouvement devenu périodique; ils servent encore à empêcher que le mouvement ne change trop rapidement d'un tour à l'autre, lorsque les variations de la force motrice et de la force résistante ne lui permettent pas de devenir périodique. Dans ce cas, le volant ne peut empêcher l'accélération ou le ralentissement, il ne fait que les retarder, jusqu'à ce qu'un autre appareil vienne modifier la force résistante, de manière à supprimer la cause de l'accélération où du ralentissement.

Ce second appareil porte le nom de régulateur; le plus employé est le régulateur à force centrifuge.

chon M qui embrasse l'axe et peut glisser verticalement. La surface extérieure de ce manchon est taillée en gorge, et dans la gorge s'engage une fourchette, extrémité d'un levier L, propre à régler la puissance ou la résistance. La considération des forces centrifuges fait voir que, si la rotation de l'axe s'accélère, les masses s'écartent, et, par suite, le manchon se soulève et agit sur le levier. Le levier modifie ordinairement la puissance et non la résistance. Dans les machines hydrauliques, il baisse ou soulève la vanne; dans les machines à vapeur, il tourne une soupape à gorge placée dans le tuyau de communication entre la chaudière et le cylindre, ou, ce qui est mieux, il fait varier le degré de détente avec lequel la vapeur agit dans le cylindre. On préfère ce dernier mode d'opération, parce qu'il permet de supprimer la soupape à gorge qui absorbe toujours une partie de la force de la

vapeur.

Déterminons la position d'équilibre du régulateur, en le considérant comme formé de deux points pesants réunis à l'axe par deux tiges sans poids.

Soient la longueur commune des tiges, a l'angle qu'elles font avec l'axe et la vitesse angulaire.

Pour qu'il y ait équilibre, la résultante de la pesanteur et de la force centrifuge sur chaque poids doit être dirigée